Au contraire de la mathématique enseignée qui se présente comme une pensée presque toujours unique, l’histoire est un choix et non une nécessité. L’objet de ce premier volume est le théorème fondamental de l’algèbre. Afin de rester dans un cadre élémentaire, il s’arrête juste avant la première preuve de Gauss, et bien sûr avant l’intervention de Galois, lorsque l’énoncé de ce théorème n’est encore contaminé par aucune écriture symbolique absconse. Parlons alors de la banalisation d’une forme polynomiale.
L’histoire est celle de la notion d’imaginaire inventée par Descartes, jusqu’à sa réduction à un nombre complexe qui réfère à la présence de deux unités de mesure, au lieu d’une seule, comme lorsqu’on écrivait en 2 pieds 3 pouces : on aura 2 + 3i, le carré de i valant -1, ou 2 + 3 √-1.
Sous le prétexte qu’il s’agit d’une histoire érudite et que plus de cent cinquante années s’écoulèrent entre l’affirmation de Descartes en 1637 et la dernière démonstration envisagée – celle de Laplace en 1795 – notre rôle ne doit surtout pas être de surcharger ce livre en difficultés. En prenant en compte les diverses tentatives d’enseignement des mathématiques à cette période, ce livre démontre que la simplicité recouvre bien des débats sur el rôle du signe et de sa mise en oeuvre dans la pensée en général. Il n’est pas banal de voir ainsi hésiter de grands mathématiciens sur ce qui est devenu simple.